triangle rectangle et cercle - Prof Kamal El arabi

Soit un triangle ABC rectangle en B :

Rappel :

L’hypoténuse est le côté qui a la
plus grande mesure :

BA < AC
BC < AC

Soit un triangle DEF :

Traçons les trois médiatrices des trois côtés de ce triangle.
On obtient un point, notons-le O, qui est le centre du cercle qui passe par les trois sommets du triangle DEF.

Définition :
Le cercle circonscrit d’un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle.

Propriété :
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

Réfléchissons...

1. Soit PON un triangle rectangle en O tel que I est le milieu de  son hypoténuse [PN].
2. Si T est le symétrique de O par rapport à I alors I est le milieu du segment [TO].
3. On en déduit que PONT est un parallélo-gramme car ses diagonales se coupent en leur milieu I.
4. Or, si un parallélogramme a un angle droit alors c’est un rectangle. Donc PONT est un rectangle.
5. Les diagonales [OT] et [PN] sont de même longueur et IO = IN = IT = IP.

Que peut-on dire du  cercle de centre I et de rayon [IP] ?

On peut dire que le cercle de centre I et de rayon [IP] passe par les points P, O, N et T. C’est le cercle circonscrit au triangle PON rectangle en O.

Caractérisation du triangle rectangle

Théorème :
Si un triangle est rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse et la médiane relative  à l’hypoténuse a pour mesure la moitié de celle de l’hypoténuse.
Exemple :

Hypothèses :
KAO est un triangle rectangle en K ; J est le milieu de [AO].

Conclusions :
Le cercle circonscrit au triangle KAO a pour diamètre [OA]  et  JK = OA ÷ 2.


Réfléchissons...

1. Soit le cercle de diamètre [RZ] et A le milieu de [RZ].
2. Soit I un point appartenant à ce cercle différent des points R et Z.
3. Si O est le symétrique de I par rapport à A alors A est le milieu du segment  [OI], AO = AI. Comme [AI], [AR] et [AZ] sont des rayons du cercle, AI = AR = AZ.

Que peut-on dire du  quadrilatère ROZI ?

On peut dire que le quadrilatère ROZI a des diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont de même longueur.

ROZI est donc un rectangle.

Que peut-on dire du triangle RIZ ?

Le triangle RIZ est un triangle rectangle en I.

La réciproque


Théorème :
Si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et un point de ce cercle alors  ce triangle est rectangle.

Exemple :

Hypothèses :
Les points F, E et R appartiennent au cercle. [FE] est un diamètre de ce cercle.

Conclusion :
Le triangle FER est rectangle en R.

Une autre formulation


Théorème :
Si, dans un triangle, la mesure d’une médiane est la moitié de celle du côté dont elle est relative alors  ce triangle est rectangle.

Exemple :

Hypothèses :
Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et MC = AB ÷ 2.

Conclusion :
Le triangle ABC est rectangle en C.